Question

【題目】若函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，并且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).

（1）研究并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若實數(shù)滿足不等式，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，則，所以，根據(jù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，可得，從而可得函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（2）先證明在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，根據(jù)奇偶性可得在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，再將變形為，可得，進而可得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)， 顯然恒成立.

設(shè)，則， ， ，

則，

所以，

又在區(qū)間上是單調(diào)遞增，所以 ，

即，

所以函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).

（2）因為是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，

又因為在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù)，

所以當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ， ，

所以當(dāng)，有.

設(shè)，則，所以，

即，所以，

所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).

綜上所述， 在區(qū)間上是單調(diào)遞增的函數(shù).

所以由得，

即所以.