(2012•洛陽模擬)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0),其傾斜角為α,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcosθ+5=0.
(1)若直線l與曲線C有公共點(diǎn),求α的取值范圍;
(2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),求x+y的取值范圍.
分析:(1)先根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式,算出曲線C的直角坐標(biāo)方程,再結(jié)合直線l的參數(shù)方程:
x=-1+tcosα
y=tsinα
,聯(lián)解得到關(guān)于參數(shù)t的二次方程,運(yùn)用根的判別式列式并解之,即可得到角α的取值范圍;
(2)由(1)可得曲線C的參數(shù)方程,從而得到x+y=3+2
2
sin(θ+
π
4
),最后結(jié)合正弦函數(shù)的值域,即可得到x+y的取值范圍.
解答:解:(1)將曲線ρ2-6ρcosθ+5=0化成直角坐標(biāo)方程,得圓C:x2+y2-6x+5=0
直線l的參數(shù)方程為
x=-1+tcosα
y=tsinα
(t為參數(shù))
將其代入圓C方程,得(-1+tcosα)2+(tsinα)2-6tsinα+5=0
整理,得t2-8tcosα+12=0
∵直線l與圓C有公共點(diǎn),
∴△≥0,即64cos2α-48≥0,可得cosα≤-
3
2
或cosα≥
3
2

∵α為直線的傾斜角,得α∈[0,π)
∴α的取值范圍為[0,
π
6
]∪[
6
,π)
(2)由圓C:x2+y2-6x+5=0化成參數(shù)方程,得
x=3+2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù))
∵M(jìn)(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn),
∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2
2
sin(θ+
π
4

∵sin(θ+
π
4
)∈[-1,1]
∴2
2
sin(θ+
π
4
)∈[-2
2
,2
2
],可得x+y的取值范圍是[3-2
2
,3+2
2
].
點(diǎn)評:本題給出直線與圓的極坐標(biāo)方程,要求我們將其化成直角坐標(biāo)方程并研究直線與圓位置關(guān)系.著重考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、簡單曲線的極坐標(biāo)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識,屬于中檔題.
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q
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p
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p
q

求:
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+1
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4
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4
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7
7

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3
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(  )

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