(2012•洛陽模擬)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,
q
=(2a,1),
p
=(2b-c,cosC)且
p
q

求:
(I)求sinA的值;
(II)求三角函數(shù)式
-2cos2C
1+tanC
+1
的取值范圍.
分析:(I)根據(jù)向量平行的充要條件列式:2b-c=2acosC,結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式,化簡可得2cosAsinC=sinC,最后用正弦的誘導(dǎo)公式化簡整理,可得cosA=
1
2
,從而得到sinA的值;
(II)將三角函數(shù)式用二倍角的余弦公式結(jié)合“切化弦”,化簡整理得
2
sin(2C-
π
4
),再根據(jù)A=
π
3
算出C的范圍,得到sin(2C-
π
4
)的取值范圍,最終得到原三角函數(shù)式的取值范圍.
解答:解:(I)∵
p
q
,∴2acosC=1×(2b-c),
根據(jù)正弦定理,得2sinAcosC=2sinB-sinC,
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴2cosAsinC-sinC=0,即sinC(2cosA-1)=0
∵C是三角形內(nèi)角,sinC≠0
∴2cosA-1=0,可得cosA=
1
2

∵A是三角形內(nèi)角,
∴A=
π
3
,得sinA=
3
2
            …(5分)
(II)
-2cos2C
1+tanC
+1
=
2(sin2C-cos2C)
1+
sinC
cosC
+1
=2cosC(sinC-cosC)+1=sin2C-cos2C,
-2cos2C
1+tanC
+1
=
2
sin(2C-
π
4
),
∵A=
π
3
,得C∈(0,
3
),
∴2C-
π
4
∈(-
π
4
,
13π
12
),可得-
2
2
<sin(2C-
π
4
)≤1,
∴-1<
2
sin(2C-
π
4
2
,
即三角函數(shù)式
-2cos2C
1+tanC
+1
的取值范圍是(-1,
2
].     …(11分)
點(diǎn)評(píng):本題給出向量平行,通過列式化簡求A的大小,并求關(guān)于B的三角式的取值范圍.著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡、正弦定理和誘導(dǎo)公式等知識(shí),屬于中檔題.
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