Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對，都有成立，求的取值范圍；

（3）當時，求在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3)

【解析】試題分析：（1）將a=1代入求出函數(shù)的表達式，通過求導令導函數(shù)大于0，從而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為對1≤x≤e恒成立．記h（x）=，通過求導得到h（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍；（3）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論當0＜x＜ln2k時，當ln2k＜x＜k時的情況，從而得到函數(shù)f（x）的最大值．

試題解析：

⑴時， ， ，令，得 ，解得．

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

⑵由題意 對恒成立，因為時， ， 所以對恒成立．記，因為對恒成立，當且僅當時，所以在上是增函數(shù)，

所以，因此．

⑶ 因為，由，得或（舍）．

可證對任意恒成立，所以，

因為，所以，由于等號不能同時成立，所以，于是．

當時， ， 在上是單調(diào)減函數(shù)；

當時， ， 在上是單調(diào)增函數(shù)．

所以，

記， ，以下證明當時， ．

，記， 對恒成立，

所以在上單調(diào)減函數(shù)， ， ，所以，使，

當時， ， 在上是單調(diào)增函數(shù)；當時， ， 在上是單調(diào)減函數(shù)．又，所以對恒成立，

即對恒成立，所以．