Question

【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的直徑均位于區(qū)間內(nèi)（單位： ).若生產(chǎn)一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)該廠可獲利分別為10，30，20，10(單位：元），現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件測(cè)量它們的直徑，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值，并估計(jì)該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)；

（2）現(xiàn)用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本，從樣本中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)的槪率.

Answer 1

【答案】（1）， 元.（2）.

【解析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖中各矩形的面積和為1，可以得到.再計(jì)算出各組內(nèi)直徑的頻數(shù)，就能計(jì)算出平均利潤(rùn).（2）中的問(wèn)題是一個(gè)古典概型，它的基本事件的總數(shù)為，而至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間的事件的總數(shù)是7，從而所求概率為.

解析：

（1）由頻率分布直方圖得，所以，直徑位于區(qū)間的頻數(shù)為，位于區(qū)間的頻數(shù)為，位于區(qū)間的頻數(shù)為，位于區(qū)間的頻數(shù)為，∴生產(chǎn)一件 產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為（元）.

（2）由頻率分布直方圖得：直徑位于區(qū)間和的頻率之比為，∴應(yīng)從直徑位于區(qū)間的產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品，記為，從直徑位于區(qū)間的產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品，記為，從中隨機(jī)抽取兩件，所有可能的取法有共種，∴兩件產(chǎn)品中至多有一件產(chǎn)品的直徑位于區(qū)間內(nèi)的取法有種.∴所求概率為.