已知A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且α∈(0,π).
(1)若|
OA
+
OC
|=
7
,求
OB
OC
的夾角
的余弦值.
(2)若
AC
BC
,求tanα的值
分析:(1)由|
OA
+
OC
|=
7
得出cosα與sinα所滿足的條件,將其代入
OB
OC
的夾角
的余弦公式中求出余弦值即可.
(2)兩向量垂直,則它們的內(nèi)積為0,由此建立關于cosα,sinα的方程由此方程結合同角三角函數(shù)的關系求出正切值即可.
解答:解:(1)∵由|
OA
+
OC
|=
7
,A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),
∴(2+cosα)2+sin2α=7,解得cosα=
1
2

OB
OC
的夾角
的余弦值為
OB
OC
|
OB
||
OC
|
=
2sinα
2
=sinα=
1-cos2α
=
3
2

OB
OC
的夾角
的余弦值是
3
2

(2)∵
AC
BC

AC
BC
=0又
AC
=(cosα-2,sinα),
BC
=(cosα,sinα-2),
∴cos2α-2cosα+sin2α-2sinα=0
cosα+sinα=
1
2

即1+2cosαsinα=
1
4

tanα
1+tan 2α
=-
3
8
,解得tanα=-
7
3

又由cosα+sinα=
1
2
及向量夾角的取取值范圍知,α是個鈍角且正弦的絕對值大于余弦的絕對值
tanα=-
4+
7
3
點評:本題考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角以及三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,求解此類題的關鍵是正確應用公式時行變形,以及正確運算,莫因馬虎算錯導致前功盡棄.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知A(-
2
,0),B(
2
,0),CD⊥AB于D,△ABC的垂心為H,且
CD
=2
CH

(Ⅰ)求點H的軌跡方程;
(Ⅱ)若過定點F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點G,H(點G在F,H之間),且滿足
FG
FH
,求λ的取值范圍.

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已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左右頂點,F(xiàn)(1,0)為其右焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程及離心率;
(Ⅱ)過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P(不同于A,B),與橢圓在點B處的切線交于點D.當直線l繞點A轉動時,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|,E為AC上一點,且
AE
EC
.又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點.若λ∈[
2
3
3
4
]
,則雙曲線離心率e的取值范圍為(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(2,0),B(3,3),直線l⊥AB,則直線l的斜率k=(  )
A、-3
B、3
C、-
1
3
D、
1
3

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