如圖,已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|,E為AC上一點(diǎn),且
AE
EC
.又以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線過C、D、E三點(diǎn).若λ∈[
2
3
,
3
4
]
,則雙曲線離心率e的取值范圍為( 。
分析:如圖,在直角坐標(biāo)系中,記雙曲線的半焦距為c(c=2),h是梯形的高,用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)x0和y0的表達(dá)式.設(shè)雙曲線方程,將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和e分別代入雙曲線方程聯(lián)立后求得e和h的關(guān)系式,根據(jù)λ的范圍求得e的范圍.
解答:解:如圖,以AB的垂直平分線為γ軸,直線AB為x軸,建立直角坐標(biāo)系xOγ,則CD⊥γ軸.
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn),由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于γ軸對稱,
設(shè)c為雙曲線的半焦距(c=2),
依題意,記 A(-c,0),C(
c
2
,h),E(x0y0)
,
h是梯形的高,
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0=
-c+
c
2
λ
1+λ
=
(λ-2)c
2(λ+1)

γ0=
λh
1+λ

設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,則離心率 e=
c
a
,
由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和 e=
c
a
代入雙曲線的方程,得
e2
4
-
h2
b2
=1
,①
e2
4
(
λ-2
λ+1
)2-(
λ
λ+1
)2
h2
b2
=1
.②
由①式得
h2
b2
=
e2
4
-1
,③
將③式代入②式,整理得
e2
4
(4-4λ)=1+2λ
,
λ=1-
3
e2+2

由題設(shè)
2
3
≤λ≤
3
4
得,
2
3
≤1-
3
e2+2
3
4

解得
7
≤e≤
10
,
所以,雙曲線的離心率的取值范圍為[
7
,
10
].
故選A.
點(diǎn)評:本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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A.   B.  C.   D.

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    A.   B.  C.   D.

 

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A.
B.
C.
D.

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