精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知A(-
2
,0),B(
2
,0),CD⊥AB于D,△ABC的垂心為H,且
CD
=2
CH

(Ⅰ)求點(diǎn)H的軌跡方程;
(Ⅱ)若過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G,H(點(diǎn)G在F,H之間),且滿足
FG
FH
,求λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(x,y),C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,m),則D(x,0),
CD
=(0,-m),
CH
=(0,y-m),
CD
=2
CH
,m=2y,故C點(diǎn)為(x,2y),由此能求出點(diǎn)H的軌跡方程.
(Ⅱ)直線GH斜率存在時(shí),設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),
FG
FH
,(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2),x1=λx2,x1+x2=(1+λ)x2,x1x2=λx22,由此知
1
3
<λ< 3
,由0<λ<1,知
1
3
<λ<1
.當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí),方程為x=0,
FG
=
1
3
FH
,λ=
1
3
,故所求的λ的取值范圍是[
1
3
,1)
..
解答:解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(x,y),C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,m),則D(x,0),
CD
=(0,-m),
CH
=(0,y-m),
CD
=2
CH
,
∴m=2y,故C點(diǎn)為(x,2y),
AC
BH
=0

(x+
2
,2y)•(x-
2
,y)=0
(2分)
故點(diǎn)H的軌跡方程為
x2
2
+y2=1(y≠0)
.(6分)
(Ⅱ)直線GH斜率存在時(shí),設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),
FG
FH

∴(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2),
∴x1=λx2,x1+x2=(1+λ)x2,x1x2=λx22
(
x1+x2
1+λ
)
2
=x22=
x1x2
λ
,
(
-4k
1
2
+k2
)
2
(1+λ)2
=
3
1
2
+k2
λ
,整理,得
16
3(
1
2k2
+1)
=
(1+λ)2
λ
,
k2
3
2
,∴4<
16
3
2k2
+3
16
3
,∴4<λ+
1
λ
+2<
16
3
,
1
3
<λ< 3
,
又∵0<λ<1,∴
1
3
<λ<1

當(dāng)直線GH斜率不存在時(shí),方程為x=0,
FG
=
1
3
FH
,λ=
1
3
,
1
3
≤λ<1

故所求的λ的取值范圍是[
1
3
,1)
..
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,提高解題能力和解題時(shí)技巧,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°,AB上一點(diǎn)E,以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D,若AE=2cm,
AD=4cm.
(1)求:⊙O的直徑BE的長(zhǎng);
(2)計(jì)算:△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=
3
BD,BC=2BD,則sinC的值為(  )
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,設(shè)
AB
=a
,
AC
=b
,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.
(Ⅰ)若
AP
=λa+μb
,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對(duì)角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,∠B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3.
(1)求∠ADC的大。
(2)求AB的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,已知
BD
=2
DC
,則
AD
=( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案