Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|sinx|+cosx，現(xiàn)有如下幾個命題： ①該函數(shù)為偶函數(shù)；
②該函數(shù)最小正周期為 ；
③該函數(shù)值域為 ；
④若定義區(qū)間（a，b）的長度為b﹣a，則該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間長度的最大值為 ．
其中正確命題為 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：當sinx≥0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，此時f（x）=sinx+cosx= sin（x+ ）， 當sinx＜0，即2kπ﹣π≤x≤2kπ，k∈Z，此時f（x）=﹣sinx+cosx= cos（x+ ），①f（﹣x）=|sin（﹣x）|+cosx=|sinx|+cosx=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故①正確，②f（x+ ）=|sin（x+ ）|+cos（x+ ）=|cosx|﹣sinx≠f（x），則函數(shù)最小正周期為 錯誤，故②錯誤，
當2kπ≤x≤2kπ+π時，2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，此時 sin（x+ ）∈[﹣1， ]，
當2kπ﹣π≤x≤2kπ時，2kπ ≤x+ ≤2kπ+ ，此時 cos（x+ ）∈[﹣1， ]，
綜上f（x））∈[﹣1， ]，即函數(shù)的值域為[﹣1， ]，故③正確，④作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

函數(shù)單調(diào)遞增的最大區(qū)間在函數(shù)f（x）= cos（x+ ），
由2kπ﹣π≤x+ ≤2kπ，k∈Z得2kπ﹣ ≤x≤2kπ﹣ ，k∈Z
∵2kπ﹣π≤x≤2kπ，∴此時2kπ﹣π≤x≤2kπ﹣ ，即此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ﹣π，2kπ﹣ ]，
當k=0時，單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣π，﹣ ]，此時區(qū)間長度為﹣ ﹣（﹣π）= ，
故④正確，
所以答案是：①③④．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系才能正確解答此題．