Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB= ，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO= ，點(diǎn)F，G分別是線段PB，PD上的中點(diǎn)，E在PA上，且PA=3PE．
（Ⅰ）求證：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）求直線AB與平面EFG的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面EFG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在△PBD中， ∵點(diǎn)F，G分別是線段PB，PD上的中點(diǎn)，
∴FG∥BD，
∵BD平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，
∴BD∥平面EFG．
解：（Ⅱ）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，
∴OA⊥OB，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，PO⊥OB，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ， ， ，
∴ ， ， ，
設(shè)平面EFG的法向量為 =（x，y，z），
則 ，令 ，得 =（﹣ ），
∵cos＜ ， ＞= = ，
∴直線AB與平面EFG的成角的正弦值為 ．

（Ⅲ）法1：延長EF，EG分別交AB，AD延長線于M，N，連接MN，發(fā)現(xiàn)剛好過點(diǎn)C，
連接CG，CF，
則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面EFG與直線PC的交點(diǎn)為H，設(shè) ，
則
由 =（﹣ ）（﹣ ）=0，解得λ=1．
所以H即為點(diǎn)C．
所以連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出FG∥BD，由此能證明BD∥平面EFG． （Ⅱ）推導(dǎo)出OA⊥OB，PO⊥OA，PO⊥OB，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的成角的正弦值．（Ⅲ）法1：延長EF，EG分別交AB，AD延長線于M，N，連接MN，發(fā)現(xiàn)剛好過點(diǎn)C，連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
法2：記平面EFG與直線PC的交點(diǎn)為H，設(shè) ，利用向量法求出λ=1．從而H即為點(diǎn)C．連接CG，CF，則四邊形EFCG為平面EFG與四棱錐的表面的交線．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．