Question

設橢圓：的左、右焦點分別是、，下頂點為，線段的中點為（為坐標原點），如圖.若拋物線：與軸的交點為，且經過、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的面積的最大值為．

試題分析：（Ⅰ）求橢圓的方程，本題解題的關鍵是利用拋物線的方程求出橢圓方程中參數的值，拋物線：與軸的交點為，且經過、兩點，求出、、兩點點的坐標，即可求出橢圓的半長軸與半焦距，再求出，就能寫出橢圓方程；（Ⅱ）設，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值，利用拋物線線上的點的切線方程與圓聯立利用弦長公式與點到直線的距離公式分別求出三角形的底邊長度與高，表示出△MPQ的面積利用函數的知識求出最值，設（），表示出過點的拋物線的切線方程，與橢圓的方程聯立，利用弦長公式表示出線段的長度，再求出點到直線的距離為，表示出面積，由于其是參數的函數，利用函數的知識求出其最值即可得到，的面積的最大值．
試題解析：（Ⅰ）由題意可知B（0， 1），則A（0， 2），故b=2．    2分
令y=0得即，則F₁( 1，0)，F₂（1，0），故c =1．    4分

所以．于是橢圓C₁的方程為：．    6分
（Ⅱ）設N（），由于知直線PQ的方程為：
． 即．    7
代入橢圓方程整理得：,
=,
 , ,    9分
故
．    10分
設點M到直線PQ的距離為d，則．
所以，的面積S
     12分
當時取到“=”，經檢驗此時，滿足題意．
綜上可知，的面積的最大值為．    13分