【題目】如圖,正四棱柱的底面邊長為,側棱長為1,求:
(1)直線與直線所成角的余弦值;
(2)平面與平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)以 {,,} 為正交基底建立空間直角坐標系D﹣xyz,利用向量法能求出直線A1C與直線AD1所成角的余弦值;
(2)求出平面D1AC的一個法向量和平面ABB1A1的一個法向量,利用向量法能求出平面D1AC與平面ABB1A1所成二面角的正弦值.
(1)如圖,正四棱柱的底面邊長為,側棱長為1,
故以 為正交基底建立空間直角坐標系.
則,,,
, .
(1)因為 ,
,
所以,
,,
從而.
又異面直線所成的角的范圍是,
所以直線與直線所成角的余弦值為.
(2),,
設平面的一個法向量為,
則從而即
取,可得,,即.
在正四棱柱中,平面,
又,
所以為平面的一個法向量.
因為,且,,
所以.
因此平面與平面所成二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)(是常數(shù)).
(1)證明:是奇函數(shù);
(2)當時,證明:在區(qū)間上單調遞增;
(3)若,使得,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(Ⅰ)若的圖像在處的切線經過點(3,4),求的值;
(Ⅱ)若,求證: ;
(Ⅲ)當函數(shù)存在三個不同的零點時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“雙十二”是繼“雙十一”之后的又一個網購狂歡節(jié),為了刺激“雙十二”的消費,某電子商務公司決定對“雙十一”的網購者發(fā)放電子優(yōu)惠券.為此,公司從“雙十一”的網購消費者中用隨機抽樣的方法抽取了100人,將其購物金額(單位:萬元)按照, 分組,得到如下頻率分布直方圖:
根據調查,該電子商務公司制定了發(fā)放電子優(yōu)惠券的辦法如下:
(Ⅰ)求購物者獲得電子優(yōu)惠券金額的平均數(shù);
(Ⅱ)從這100名購物金額不少于0.8萬元的人中任取2人,求這兩人的購物金額在0.8~0.9萬元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某家電公司根據銷售區(qū)域將銷售員分成,兩組.年年初,公司根據銷售員的銷售業(yè)績分發(fā)年終獎,銷售員的銷售額(單位:十萬元)在區(qū)間,,,內對應的年終獎分別為2萬元,2.5萬元,3萬元,3.5萬元.已知銷售員的年銷售額都在區(qū)間內,將這些數(shù)據分成4組:,,,,得到如下兩個頻率分布直方圖:
以上面數(shù)據的頻率作為概率,分別從組與組的銷售員中隨機選取1位,記,分別表示組與組被選取的銷售員獲得的年終獎.
(1)求的分布列及數(shù)學期望;
(2)試問組與組哪個組銷售員獲得的年終獎的平均值更高?為什么?
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【題目】已知對任意的實數(shù),都有:,且當時,有.
(1)求;
(2)求證:在上為增函數(shù);
(3)若,且關于的不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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