【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=4x，且f（0）=1．
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)g（x）=（ ）f（x）的單調(diào)增區(qū)間和值域．

【答案】
（1）解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．

∵f（0）=1，∴c=1．把f（x）的表達(dá)式代入f（x+1）﹣f（x）=4x，有

a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=4x．

∴2ax+a+b=4x．∴a=2，b=﹣2．

∴f（x）=2x2﹣2x+1


（2）解：g（x）=（ ）f（x）= ，

令t=2x2﹣2x+1，則t=2x2﹣2x+1=2（x﹣ ）2+

此時(shí)y=（ ）t為減函數(shù)，

當(dāng)x≥ 時(shí)，函數(shù)t=2x2﹣2x+1為增函數(shù)，此時(shí)g（x）為減函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞， ]，

當(dāng)x≤ 時(shí)，函數(shù)t=2x2﹣2x+1為減函數(shù)，此時(shí)g（x）為增函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[ ，+∞），

∵t=2x2﹣2x+1=2（x﹣ ）2+ ≥ ，

∴0＜（ ）t≤=（ ） = ，

即函數(shù)的值域?yàn)椋?， ]


【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求二次函數(shù)f（x）的解析式．（2）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合一元二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲乙兩名同學(xué)參加定點(diǎn)投籃測(cè)試，已知兩人投中的概率分別是和，假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒(méi)有影響，每人各次投球是否投中也沒(méi)有影響.

（Ⅰ）若每人投球3次（必須投完），投中2次或2次以上，記為達(dá)標(biāo)，求甲達(dá)標(biāo)的概率；

（Ⅱ）若每人有4次投球機(jī)會(huì)，如果連續(xù)兩次投中，則記為達(dá)標(biāo).達(dá)標(biāo)或能斷定不達(dá)標(biāo)，則終止投籃.記乙本次測(cè)試投球的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題；
②命題“x∈R，x2+2＜0”是全稱命題；
③若p：x∈R，x2+4x+4≤0，則q：x∈R，x2+4x+4≤0是全稱命題．
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx，g（x）=x2 ． 其中x∈R．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線相互平行，求兩平行直線間的距離；
（2）若f（x）≤g（x）﹣1對(duì)任意x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)于函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）+1，記在h（x）圖象上任取兩點(diǎn)A、B連線的斜率為kAB ， 若|kAB|≥1，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法正確的是（只填正確說(shuō)法序號(hào)）
①若集合A={y|y=x﹣1}，B={y|y=x2﹣1}，則A∩B={（0，﹣1），（1，0）}；
② 是函數(shù)解析式；
③ 是非奇非偶函數(shù)；
④設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則f（x1+x2）=c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．
根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：

分組

頻數(shù)

頻率

[25，30]

3

0.12

（30，35]

5

0.20

（35，40]

8

0.32

（40，45]

n1

f1

（45，50]

n2

f2


（1）確定樣本頻率分布表中n1 ， n2 ， f1和f2的值；
（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；
（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30，35]的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）是滿足f（x）+f（﹣x）=0，在（﹣∞，0）上 ，且f（5）=0，則使f（x）＜0的x取值范圍是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f（x）=sinπx，f（ ）=0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A.9
B.7
C.5
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】雙曲線C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為 ，漸近線方程為 ．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

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