Question

【題目】2019年12月份，我國(guó)湖北武漢出現(xiàn)了新型冠狀病毒，人感染后會(huì)出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴(yán)重的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命.為了增強(qiáng)居民防護(hù)意識(shí)，增加居民防護(hù)知識(shí)，某居委會(huì)利用網(wǎng)絡(luò)舉辦社區(qū)線上預(yù)防新冠肺炎知識(shí)答題比賽，所有居民都參與了防護(hù)知識(shí)網(wǎng)上答卷，最終甲、乙兩人得分最高進(jìn)入決賽，該社區(qū)設(shè)計(jì)了一個(gè)決賽方案：①甲、乙兩人各自從個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽個(gè).已知這個(gè)問(wèn)題中，甲能正確回答其中的個(gè)，而乙能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為，甲、乙兩人對(duì)每個(gè)問(wèn)題的回答相互獨(dú)立、互不影響；②答對(duì)題目個(gè)數(shù)多的人獲勝，若兩人答對(duì)題目數(shù)相同，則由乙再?gòu)氖Ｏ碌?/span>道題中選一道作答，答對(duì)則判乙勝，答錯(cuò)則判甲勝.

（1）求甲、乙兩人共答對(duì)個(gè)問(wèn)題的概率；

（2）試判斷甲、乙誰(shuí)更有可能獲勝？并說(shuō)明理由；

（3）求乙答對(duì)題目數(shù)的分布列和期望.

Answer 1

【答案】（1）（2）乙勝出的可能性更大，詳見(jiàn)解析（3）分布列見(jiàn)解析；期望為

【解析】

（1）利用互斥事件概率加法公式、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次概率計(jì)算公式能求出甲、乙兩名學(xué)生共答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率．

（2）設(shè)甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答題甲獲勝”和“兩人共答題甲獲勝”兩類情況，其中第一類包括甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為，，，，，六種情況，第二類包括前三題甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為，，三種情況，計(jì)算出甲獲勝的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求出乙獲勝的概率即可判斷；

（3）設(shè)學(xué)生乙答對(duì)的題數(shù)為，則的所有可能取值為，計(jì)算出相應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；

（1）甲、乙共答對(duì)個(gè)問(wèn)題分別為：兩人共答題，甲答對(duì)個(gè)，乙答對(duì)個(gè)；兩人共答題，甲答對(duì)個(gè)，乙答對(duì)個(gè).

所以甲、乙兩保學(xué)生共答對(duì)個(gè)問(wèn)題的概率：

.

（2）設(shè)甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答題甲獲勝”和“兩人共答題甲獲勝”兩類情況，其中第一類包括甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為，，，，，六種情況，第二類包括前三題甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為，，三種情況，所以甲獲勝的概率

，

設(shè)乙獲勝為事件，則為對(duì)立事件，

所以，

所以乙勝出的可能性更大.

（3）設(shè)學(xué)生乙答對(duì)的題數(shù)為，則的所有可能取值為，

所以隨機(jī)變量的分布列為

	0	1	2	3	4

所以期望.