Question

已知定點A（1，0），定直線l：x=5，動點M（x，y）
（1）若M到點A的距離與M到直線l的距離之比為

5

5

，試求M的軌跡曲線C₁的方程；
（2）若曲線C₂是以C₁的焦點為頂點，且以C₁的頂點為焦點，試求曲線C₂的方程；
（3）是否存在過點F（

5

，0）的直線m，使其與曲線C₂交得弦|PQ|長度為8呢？若存在，則求出直線m的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設條件，根據(jù)橢圓定義：M的軌跡為橢圓，其中c=1，e=

c

a

=

5

5

，由此能求出C₁軌跡方程．
（2）由C₁的焦點為：（1，0），（-1，0），C₁的頂點為：（

5

，0），（-

5

，0）由題意可知：C₂為雙曲線，由此能求出C₂軌跡方程．
（3）當直線m的斜率不存在時，m的方程為：x=

5

，它與C₂：x²-

y2

4

=1交于P（

5

，-4）和Q（

5

，4），得到得弦|PQ|=8．當直線m的斜率存在時，m的方程為y=k（x-

5

），聯(lián)立方程組  

5y=k(x- 5 ) x2- y2 4 =1

，消去y，整理得(4-k2)x2+2

5

k2x-5k2-4=0，由弦長公式能求出直線m的方程．

解答：解：（1）∵定點A（1，0），定直線l：x=5，動點M（x，y），
M到點A的距離與M到直線l的距離之比為

5

5

，
∴根據(jù)橢圓定義：M的軌跡為橢圓，
其中c=1，e=

c

a

=

5

5

，
∴a=

5

∴b=

5-1

=2
∴則C₁軌跡方程為：

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）∵C₁軌跡方程為：

x2

5

+

y2

4

=1，
∴C₁的焦點為：（1，0），（-1，0），C₁的頂點為：（

5

，0），（-

5

，0）
由題意可知：C₂為雙曲線
則a′=1，c'=

5

，
則b′=

5-1

=2，
∴C₂軌跡方程為：x²-

y2

4

=1．
（3）當直線m的斜率不存在時，m的方程為：x=

5

，
它與C₂：x²-

y2

4

=1交于P（

5

，-4）和Q（

5

，4），得到得弦|PQ|=8．
當直線m的斜率存在時，m的方程為y=k（x-

5

），
聯(lián)立方程組  

5y=k(x- 5 ) x2- y2 4 =1

，消去y，
整理得(4-k2)x2+2

5

k2x-5k2-4=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

2 5 k2

k2-4

，x1x2=

4+5k2

k2-1

，
∵弦|PQ|長度為8，∴

(1+k2)[( 2 5 k2 k2-4 )2- 16+20k2 k2-4 ]

=8，
解得k=±

6

2

，
∴直線m的方程為x=

5

或y=±

6

2

（x-

5

）．

點評：本題考查橢圓和雙曲線方程的求法，考查弦長公式的應用．易錯點是容量忽視直線的斜率不存在的解．解題時要認真審題，仔細解答．