已知定點(diǎn)A（1，0）和定圓B：x2+y2+2x-15=0，動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn)，
（1）求動(dòng)圓P的圓心P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)Q是軌跡C上任意一點(diǎn)，求∠AQB的最大值．
分析：（1）根據(jù)動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn)，可知|PA|+|PB|=4＞2，所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，故可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4，則cos∠AQB=
m2+n2-4
2mn
=
(m+n)2-2mn-4
2mn
=
6
mn
-1≥
6
(
m+n
2
)2
-1=
1
2
，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取“=”，根據(jù)∠AQB∈（0，π），可求∠AQB的最大值．
解答：解：（1）定圓B的圓心坐標(biāo)為（-1，0）
設(shè)P（x，y），則
∵動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn)
∴|PA|+|PB|=4＞2，
∴所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓
所以點(diǎn)P的軌跡方程是
x2
4
+
y2
3
=1
（2）設(shè)|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4
∴cos∠AQB=
m2+n2-4
2mn
=
(m+n)2-2mn-4
2mn
=
6
mn
-1≥
6
(
m+n
2
)2
-1=
1
2

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取“=”，
∵∠AQB∈（0，π），
∴∠AQB的最大值是
π
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是點(diǎn)的軌跡方程，考查余弦定理與基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用橢圓的定義，靈活解題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知定點(diǎn)A（1，0），定圓C：（x+1）2+y2=8，M為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，則點(diǎn)N的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax
x+b
，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點(diǎn)A（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點(diǎn)，求|AP|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f(x)≤
2m
(x+1)|x-m|
恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)A（1，0）和定直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，滿足
AE
⊥
AF
，動(dòng)點(diǎn)P滿足
EP
∥
OA
，
FO
∥
OP
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)B（0，2）的直線l與（1）中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若
AM
•
AN
＜0，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=5，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）
（Ⅰ）若M到點(diǎn)A的距離與M到直線l的距離之比為
5
5
，試求M的軌跡曲線C1的方程．
（Ⅱ）若曲線C2是以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且以C1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，試求曲線C2的方程．

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