【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)過的平面交于點(diǎn),若平面把四面體分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.

【答案】(I)詳見解析;(II).

【解析】

(Ⅰ)由題意得到,從而.又由題意證得四邊形為菱形,故得,于是平面.根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論成立.(Ⅱ)由題意得中點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的法向量,根據(jù)兩向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值.

(Ⅰ)證明:因為,則,

又側(cè)面底面,平面平面平面,

所以

因為平面,則

又因為,四邊形為平行四邊形,

,又

為等邊三角形,則四邊形為菱形,

所以

所以平面

,

所以平面平面

(Ⅱ)由平面把四面體分成體積相等的兩部分,則中點(diǎn).

由(Ⅰ)知,且四邊形為菱形、.以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,

設(shè)平面的法向量為,

,得,

,可得

同理,平面的法向量

所以

由圖形得二面角為鈍角,

所以二面角的余弦值為

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30 35 32 33 28 36 34 28 25 40

28 32 30 42 37 36 33 31 26 24

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1)若,,求

2)若,已知點(diǎn)和直線

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組號

分組

回答正確
的人數(shù)

回答正確的人數(shù)
占本組的概率

1


5

0.5

2



0.9

3


27


4



0.36

5


3


(Ⅰ) 分別求出的值;

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(Ⅲ) (Ⅱ)的前提下,電視臺決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎,求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎的概率.

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