Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，試求a、b應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

【答案】解：（1）因為f（x）為偶函數(shù)，∴對任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），
即a|x+b|=a|﹣x+b| ， 所以|x+b|=|﹣x+b|
得 b=0．
（2）記h（x）=|x+b|=，
①當(dāng)a＞1時，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，即h（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴﹣b≤2，b≥﹣2
②當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，即h（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)
但h（x）在區(qū)間[﹣b，+∞）上是增函數(shù)，故不可能
∴f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)時，a、b應(yīng)滿足的條件為a＞1且b≥﹣2
【解析】（1）因為f（x）為偶函數(shù)，得到對任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），求出b；
（2）記h（x）=|x+b|= ， 討論a值得到b的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱才能正確解答此題．