Question

【題目】今有一個(gè)“數(shù)列過濾器”，它會(huì)將進(jìn)入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來的位置排好形成一個(gè)新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會(huì)刪去數(shù)列中除以余數(shù)為的項(xiàng)，將這樣的操作記為操作.設(shè)數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列.

（1）若，進(jìn)行操作后得到，設(shè)前項(xiàng)和為

①求．

②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由．

（2）若，對(duì)進(jìn)行與操作得到，再將中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項(xiàng)刪掉最終得到證明：每個(gè)大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項(xiàng)的和．

Answer 1

【答案】（1）①②不存在．見解析（2）見解析

【解析】

（1）計(jì)算得到，再計(jì)算得到答案，假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，化簡，不成立.

（2）計(jì)算，根據(jù)題意得到，再證明得到答案.

（1）①由知：當(dāng)時(shí)，故．

則．

②解：假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)

化簡得，顯然左式為偶數(shù)，右式為奇數(shù)，矛盾，故不存在．

（2）易知，

所以保留，則．

又，將刪去，

得到，則

也即．

記，下面證明：．

由，

知：

，

同理可得：，

合并以上四式，便證明了對(duì)任意的，都有．

因此，原命題得證．