Question

【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C（x）萬元，當年產量不足80千件時，C（x）＝x2＋10x（萬元）；當年產量不少于80千件時，C（x）＝51x＋－1 450（萬元）．通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠年內生產的商品能全部銷售完．

（1）寫出年利潤L（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；

（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）產量為100千件時，所獲利潤最大．

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況進行研究：當時，投入的成本為萬元），根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，當時，投入成本為 （萬元），根據年利潤=銷售收入-成本，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；（2）根據年利潤的解析式，分段研究函數的最值，當時，利用二次函數求最值；當時，利用基本不等式求解最值，最后比較兩個最值，即可得到結論．

試題解析：（1）當0<x<80，x∈N*時，

L（x）＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；

當x≥80，x∈N*時，

L（x）＝－51x－＋1 450－250＝1 200－（x＋），

∴

（2）當0<x<80，x∈N*時，L（x）＝－（x－60）2＋950，

∴當x＝60時，L（x）取得最大值L（60）＝950．

當x≥80，x∈N*時，L（x）＝1 200－（x＋），

∴當x＝，即x＝100時，L（x）取得最大值L（100）＝1 000>950．

綜上所述，當x＝100時，L（x）取得最大值1 000，

即年產量為100千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大．