【題目】已知函數(shù) f(x) = -ax(a > 0).

(1) 當 a = 1 時,求證:對于任意 x > 0,都有 f(x) > 0 成立;

(2) 若函數(shù) y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 兩處取得極值,求證:< ln a.

【答案】(1)見解析; (2)見解析.

【解析】

1)先求導,根據(jù)導數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最值即可證得,

2)根據(jù)題意可得x1,x2是方程fx)=0的兩個實數(shù)根,不妨設x1x2,可以判斷a1,分別根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得fx1)=fx2)=0,可得aa0,即可得到a,則f),設t0,再根據(jù)函數(shù)gt)=(2tetet+1,求導,借助于(1)的結(jié)論即可證明.

1)當a1時,fx)=exx2x,

fx)=exx1,

fx)=ex10,(x0),

fx)=exx1單調(diào)遞增,

fx)>f0)=0,

fx)單調(diào)遞增,

fx)>f0)=10,

故對于任意x0,都有fx)>0成立;

2)∵函數(shù)yfx)恰好在xx1xx2兩處取得極值

x1x2是方程fx)=0的兩個實數(shù)根,不妨設x1x2,

fx)=exaxafx)=exa,

a≤0時,fx)>0恒成立,∴fx)單調(diào)遞增,fx)=0至多有一個實數(shù)解,不符合題意,

a0時,fx)<0的解集為(﹣∞,lna),fx)>0的解集為(lna,+∞),

fx)在(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,

fxminflna)=﹣alna,

由題意,應有flna)=﹣alna0,解得a1,

此時f(﹣10,

∴存在x1∈(﹣1lna)使得fx1)=0,

易知當時,f(x).

∴存在x2∈(lna,)使得fx2)=0,

a1滿足題意,

fx1)=fx2)=0,

aa0

a,

fa),

t0,

et,

gt)=(2tetet+1,

gt)=2t+1etet,

由(1)可知,gt)=2t+1etet0恒成立,

gt)單調(diào)遞減,

gt)<g0)=0,

f)<0

lna

練習冊系列答案
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以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

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D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

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