Question

【題目】已知函數(shù)(a，bR)．

（1）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的值；

（3）當(dāng)a＝0時(shí)，若的解集為(m，n)，且(m，n)中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的單調(diào)增區(qū)間是和

（2）

（3）

【解析】

（1）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）法一：求得，令，得或，由函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求得的方程，即可求解；

法二：由得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而可得函數(shù)的零點(diǎn)。

（3）當(dāng)時(shí)，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，轉(zhuǎn)化為要使有解，和的解集（m,n）中只有一個(gè)整數(shù)，分別列出不等式組，即可求解。

（1）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，，

令，解得或

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是和

（2）法一：，令，得或，

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以或，

當(dāng)時(shí)，得a＝0，不合題意，舍去：

當(dāng)時(shí)，代入得

即，所以.

法二：由于，所以，

由得，，

設(shè)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，h(x)遞減：當(dāng)時(shí)，,遞增

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí), 的值域?yàn)镽

故不論取何值，方程有且僅有一個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，方程恰有一個(gè)根－2，

此時(shí)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)-2和1．

（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上遞增，且，

所以在上，，不合題意：

當(dāng)時(shí)，令，得，

所以在遞增，在遞減，

所以，

要使有解，首先要滿足，解得. ①

又因?yàn)?/span>，，

要使的解集（m,n）中只有一個(gè)整數(shù)，則

即解得. ②

設(shè),則,

當(dāng)時(shí)，,遞增：當(dāng)時(shí)，,遞減

所以,所以,

所以由①和②得，.