Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在處的切線方程：

（2）已知實數(shù)時，求證：函數(shù)的圖象與直線：有3個交點．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，再求出切點為（1，0），利用直線方程的點斜式可得函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值同0進行比較，得到結(jié)果.

（1）因為，所以，

所以，

又因為，所以在處的切線方程；

（2）證明：當時，函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù)，

因為，，

設(shè)，

因為二次函數(shù)在時，，，

所以存在，，使得，，

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．

因為，所以，，

因此在存在一個零點；

又因為當，，

所以在存在一個零點；

當時，，

所以在存在一個零點；

所以，函數(shù)的圖象與直線：有3個交點．