【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為的等腰直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求證：為定值；

（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，，且點(diǎn)到直線的距離為常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

【答案】（1）

（2）證明見(jiàn)解析

（3）

【解析】

（1）由橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，求出，，由此能求出橢圓的方程．

（2）設(shè)，，則的方程，由，得，，由此能證明為定值．

（3）設(shè)，，，由，得，又點(diǎn)在橢圓上，得：，從而，，由此能求出點(diǎn)軌跡方程．

解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

，，

橢圓的方程為．

證明：（2）設(shè)，，則的方程，

由，得，，

，

為定值．

解：（3）設(shè)，，，由，得，①

又點(diǎn)在橢圓上，得：，②

聯(lián)立①②，得：，，③

由，得，

，

，

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)軌跡方程為：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出定理：在圓錐曲線中，是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為.若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，則的面積，試運(yùn)用上述定理求解以下各題：

（1）若，所在直線的方程為，是的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，求；

（2）已知是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，分別為和的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線分別交于點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，求和；

（3）請(qǐng)你在上述問(wèn)題的啟發(fā)下，設(shè)計(jì)一種方法求拋物線：與弦圍成成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義域是上的連續(xù)函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為、，是圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線交線段于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)可以重合），我們稱的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域是上的函數(shù)中，曲徑最小的是（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，有下列判斷：①平面平面；②平面平面；③三棱錐的體積不變；④平面．其中，正確的是______．（把所有正確的判斷的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)任意，恒有成立，則稱為階縮放函數(shù)．

（1）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的值；

（2）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；

（3）已知函數(shù)為階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 的取值范圍是，求在上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果實(shí)系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù)．

（1）設(shè)不等式和的解集分別是、，試問(wèn)是的什么條件？并說(shuō)明理由．

（2）在實(shí)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，試問(wèn)是的什么條件？并說(shuō)明理由．

（3）在復(fù)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)集合，.

(1)若，求實(shí)數(shù)的值;

(2)若，求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，曲線由兩個(gè)橢圓：和橢圓：組成，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，稱曲線為“貓眼曲線”.

（1）若貓眼曲線過(guò)點(diǎn)，且的公比為，求貓眼曲線的方程；

（2）對(duì)于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N，求證：為與無(wú)關(guān)的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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