【題目】如果實系數
、
、
和
、
、
都是非零常數．
（1）設不等式
和
的解集分別是
、
，試問
是
的什么條件？并說明理由．
（2）在實數集中，方程
和
的解集分別為和，試問是的什么條件？并說明理由．
（3）在復數集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．
【答案】（1）既不充分也不必要條件；（2）充分不必要條件；（3）充見解析.
【解析】
（1）通過舉反例判斷出
推不出
，反之也推不出，根據充要條件的有關定義得出結論.
（2）通過舉反例判斷出，推不出兩個方程的系數之間的關系，反之當兩個方程的系數對應成比例，兩個方程式是同解方程，利用充要條件的有關定義得到結論.
（3）兩個方程的系數對應成比例，所以兩個方程是同解方程，充分性得證，由韋達定理可以證明必要性.
（1）若
，
，則
，
若
，則兩個不等式的系數之間沒有關系．
是的既不充分也不必要條件．
（2）若，則兩個方程的系數之間沒有關系．
由于兩個方程的系數對應成比例，所以兩個方程式同解方程．
是的充分不必要條件.
（3）是的充要條件，
由于兩個方程的系數對應成比例，所以兩個方程是同解方程．充分性得證．
當時，由韋達定理可得
，
，即
，
，
從而可得，即必要性成立．
浙大優(yōu)學小學年級銜接捷徑浙江大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
：
（
）的右焦點為
，短軸的一個端點
到
的距離等于焦距．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
是四條直線
，
所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個頂點，
是橢圓上任意一點，若
，求證：
為定值；
（3）過點的直線
與橢圓交于不同的兩點
、
，且滿足△
與△
的面積的比值為
，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE，H是直角項點)來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝
米，記∠BHE＝
．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數，并寫出定義域；
（2）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度L．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為
的等腰直角三角形，
為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
在橢圓上，點
在直線
上，且
，求證：
為定值；
（3）設點
在橢圓上運動，
，且點到直線
的距離為常數
，求動點
的軌跡方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E的長軸長與焦距比為2：1，左焦點F（﹣2，0），一定點為P（﹣8，0）．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過P的直線與橢圓交于P1、P2兩點，設直線P1F、P2F的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．
（3）求△P1P2F面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在長方體
中，AD=2，AB=AE=1，M為矩形AEHD內的一點，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值為
那么點M到平面EFGH的距離是_____.
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