【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: (a>b>0)過點(diǎn)( ,1),且與直線 x+2y﹣4=0相切.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若橢圓E與x軸交于M、N兩點(diǎn),橢圓E內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)P使|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列,求 的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵橢圓E: (a>b>0)與直線 x+2y﹣4=0相切,聯(lián)立 ,
整理得( )x2﹣2 a2x+4a2﹣a2b2=0,
由△=0,可得 …①
∵橢圓E: (a>b>0)過點(diǎn)( ,1),∴ …②
由①②得a2=4,b2=2.∴橢圓E的方程:
(2)解:由(1)得M(﹣2,0))、PN(2,0),設(shè)P(m,n)
∵|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列,
∴|PO|2=|PN||PM|(m2+n2)2=
m2=n2+2,…③
∵ ,∴ =2n2﹣2
∵P在橢圓E內(nèi)部,∴0≤n2<1,
∴ .即 的取值范圍為[﹣2,0)
【解析】(1)由橢圓E: (a>b>0)與直線 x+2y﹣4=0相切,聯(lián)立 ,由△=0,可得 …①,由橢圓E: (a>b>0)過點(diǎn)( ,1),∴ …②,由①②得a2 , b2(2)設(shè)P(m,n),由|PO|2=|PN||PM|(m2+n2)2= m2=n2+2, ∴ =2n2﹣2,由n的范圍求得其范圍,
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)討論函數(shù)y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)當(dāng)b=0時(shí),判斷函數(shù)y= 在(﹣1,1)上的單調(diào)性,并說明理由;
(3)設(shè)h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值為2,求a+b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: (a>b>0)過點(diǎn)( ,1),且與直線 x+2y﹣4=0相切.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若橢圓E與x軸交于M、N兩點(diǎn),橢圓E內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)P使|PM|、|PO|、|PN|成等比數(shù)列,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且對(duì)任意正整數(shù)n,都有3an=2Sn+3成立.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3an , 求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中不正確的是________.(填序號(hào))
①若a∈R,則“<1”是“a>1”的必要不充分條件;
②“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的必要不充分條件;
③若命題p:“x∈R,sin x+cos x≤”,則p是真命題;
④命題“x0∈R,+2x0+3<0”的否定是“x∈R,x2+2x+3>0”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,E、F分別為A1C1、B1C1的中點(diǎn),D為棱CC1上任一點(diǎn).
(Ⅰ)求證:直線EF∥平面ABD;
(Ⅱ)求證:平面ABD⊥平面BCC1B1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的最小值為.
(1)求;
(2)若,求及此時(shí)的最大值.
【答案】(1) ;(2)答案見解析.
【解析】試題分析:(1)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)解析式后,分三種情況:①小于﹣1時(shí)②大于﹣1而小于1時(shí)③大于1時(shí),根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出f(x)的最小值g(a)的值即可;(2)把代入到第一問的g(a)的第二和第三個(gè)解析式中,求出a的值,代入f(x)中得到f(x)的解析式,利用配方可得f(x)的最大值.
試題解析:
(1)由
.這里
①若則當(dāng)時(shí),
②若當(dāng)時(shí),
③若則當(dāng)時(shí),
因此
(2)
①若,則有得,矛盾;
②若,則有即或(舍).
時(shí), 此時(shí)
當(dāng)時(shí), 取得最大值為5.
點(diǎn)睛:二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值,它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取到;常見題型有:(1)軸固定區(qū)間也固定;(2)軸動(dòng)(軸含參數(shù)),區(qū)間固定;(3)軸固定,區(qū)間動(dòng)(區(qū)間含參數(shù)). 找最值的關(guān)鍵是:(1)圖象的開口方向;(2)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系;(3)結(jié)合圖象及單調(diào)性確定函數(shù)最值.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】已知兩個(gè)不共線的向量的夾角為,且為正實(shí)數(shù).
(1)若與垂直,求;
(2)若,求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值,并指出此時(shí)向量與的位置關(guān)系.
(3)若為銳角,對(duì)于正實(shí)數(shù),關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC中角A,B,C的對(duì)邊,函數(shù) 且f(A)=5.
(1)求角A的大。
(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】濮陽市黃河灘區(qū)某村2010年至2016年人均純收入(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代號(hào)x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2010年至2016年該村人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該村2017年人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小乘法估計(jì)公式分別為: = , = ﹣ .
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