【題目】四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,PD=1,AB= ,BC=CD= ,AD=1.
(1)求異面直線AB、PC所成角的余弦值;
(2)點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),求二面角E﹣PC﹣D的大。
【答案】
(1)解:以C為原點(diǎn),CD為x軸,CB為y軸,過C點(diǎn)作平面ABCD的垂線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
A( , ,0),B(0, ,0),C(0,0,0),
P( ,0,1),
=(﹣ ,0,0), =(﹣ ,0,-1),
設(shè)異面直線AB、PC所成角為θ,
則cosθ= = = ,
∴異面直線AB、PC所成角的余弦值為
(2)解:E( , ,0), =( , ,0), =( ,0,1), =(0, ,0),
設(shè)平面PCE的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x= ,得 ,
設(shè)平面PCB的法向量 =(a,b,c),
則 ,取a= ,得 =( ,0,-2),
設(shè)二面角E﹣PC﹣D的大小為θ,
則cosθ= = = .
θ=arccos .
∴二面角E﹣PC﹣D的大小為arccos .
【解析】(1)以C為原點(diǎn),CD為x軸,CB為y軸,過C點(diǎn)作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線AB、PC所成角的余弦值.(2)求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小.
【考點(diǎn)精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本,需要知道異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬(wàn)噸和260萬(wàn)噸,需經(jīng)過東車站和西車站兩個(gè)車站運(yùn)往外地.東車站每年最多能運(yùn)280萬(wàn)噸煤,西車站毎年最多能運(yùn)360萬(wàn)噸煤,甲煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為1元/t和1.5元/t,乙煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為0.8元/t和1.6元/t.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題: ①“若a2<b2 , 則a<b”的否命題;
②“全等三角形面積相等”的逆命題;
③“若a>1,則ax2﹣2ax+a+3>0的解集為R”的逆否命題;
④“若 x(x≠0)為有理數(shù),則x為無理數(shù)”的逆否命題.
其中正確的命題是( )
A.③④
B.①③
C.①②
D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】調(diào)查某車間20名工人的年齡,第i名工人的年齡為ai,具體數(shù)據(jù)見表:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
ai | 29 | 28 | 30 | 19 | 31 | 28 | 30 | 28 | 32 | 31 | 30 | 31 | 29 | 29 | 31 | 32 | 40 | 30 | 32 | 30 |
(1)作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(2)求這20名工人年齡的眾數(shù)和極差;
(3)執(zhí)行如圖所示的算法流程圖(其中 是這20名工人年齡的平均數(shù)),求輸出的S值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),∠B、∠C分別是邊AC、AB的對(duì)角,以下命題正確的是(把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上). ①動(dòng)點(diǎn)P滿足 = + + ,則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中;
②動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ( + )(λ>0),則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中;
③動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ( + )(λ>0),則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中;
④動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ( + )(λ>0),則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中;
⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足 = +λ( + )(λ>0),則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,1+ = .
(1)求A的大;
(2)若△ABC為銳角三角形,求函數(shù)y=2sin2B﹣2cosBcosC的取值范圍;
(3)現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件:①a=1;②2c﹣( +1)b=0;③B=45°,試從中再選擇兩個(gè)條件,以確定△ABC,求出所確定的△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =({cosx,﹣ cosx), =(cosx,sinx),函數(shù)f(x)= +1. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(θ)= , 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=4,AC=2 ,DC=2
(1)求cos∠ADC
(2)求AB.
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