【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.

（1）求與的解析式；

（2）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；并求在區(qū)間的反函數(shù)；

（3）設(shè)（其中為常數(shù)），若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.

【答案】(1) ，. (2)證明見解析；，. (3)

【解析】

（1）利用奇偶性可得，，即，聯(lián)立求解即可；

（2）求出的解析式，根據(jù)定義式證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)反函數(shù)的概念求出的反函數(shù)和定義域；

（3）由題目所給的條件，把替換成，并寫出的取值范圍，通過變量分離把放到不等式的一邊解出的取值范圍.

解：（1），∴，

為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴，

，∴，

∴，.

（2）對(duì)，且，

，，

∴在上是增函數(shù)；

的值域是，

根據(jù)反函數(shù)的概念

設(shè)，則，令，

則，再由解得

，即.

因?yàn)?/span>，

所以，所以，

因此的反函數(shù)，.

（3）在上單調(diào)遞增，

令，，

∴對(duì)于恒成立，

∴，

對(duì)于恒成立，令

，

當(dāng)且僅時(shí)等號(hào)成立，

∴，∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜1.

(1)求證f(0)＝1；

(2)求證x∈R時(shí)，恒有f(x)＞0；

(3)求證f(x)在R上是減函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)的極值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．

（Ⅰ）將曲線，的參數(shù)方程化為普通方程；

（Ⅱ）求曲線上的點(diǎn)到曲線的距離的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（ ）條件．

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f(x)對(duì)任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時(shí)，恒有f(x)＞1.

(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，已知都是邊長為的等邊三角形，為中點(diǎn)，且平面，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，記．

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，對(duì)任意的R，存在，有，則的取值范圍為____________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；②其圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③無最大值，也無最小值；④在區(qū)間上是增函數(shù)；⑤的最小值是。其中所有不正確命題的序號(hào)是________

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案