Question

【題目】若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足對(duì)一切恒成立，則稱為可控?cái)?shù)列，.

（1）若，，問(wèn)有多少種可能？

（2）若是遞增數(shù)列，，且對(duì)任意的，數(shù)列，，成等差數(shù)列，判斷是否為可控?cái)?shù)列？說(shuō)明理由；

（3）設(shè)單調(diào)的可控?cái)?shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，即.問(wèn)的極限是否存在，若存在，求出與的關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）2017種；（2）是；見(jiàn)解析；（3）極限存在，此時(shí)

【解析】

（1）依據(jù)定義驗(yàn)證利用枚舉法即得結(jié)果；

（2）根據(jù)，，成等差數(shù)列，得到；再根據(jù)是遞增數(shù)列，得到，最后得；

（3）當(dāng)為單調(diào)遞增時(shí)，；當(dāng)為單調(diào)遞減時(shí)，；利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)，再對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組求和后求極限即得.

（1）當(dāng)，時(shí)，有，用枚舉法，得：

；

，；

，，；

，，，；

，，， .

我們發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)有種可能；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，項(xiàng)有種可能；

故有種可能；

（2），，成等差數(shù)列，

，變形得：，

又是遞增數(shù)列，

，

即

，，

即

所以命題得證；

（3）（ⅰ）若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則：

，由累加法得：

，

對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組求和得：，

極限不存在；

（ⅱ）若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則：

，由累加法得：

，

對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組求和得：

，極限存在，此時(shí).