如圖,四棱錐的底面是矩形,
底面PBC邊的中點(diǎn),SB
平面ABCD所成的角為45°,且AD=2,SA=1.
(1)求證:平面SAP;
(2)求二面角ASDP的大小.          
(1)見解析
(2)二面角ASDP的大小為
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142333564254.gif" style="vertical-align:middle;" />底面,
所以,∠SBASB與平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,……………………….2分
又因?yàn)?i>AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以.………….…….3分
因?yàn)镾A⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SAPD,               …………….……………………….…....4分
由于SAAP=A    所以平面SAP.…………………………….5分
(2)設(shè)QAD的中點(diǎn),連結(jié)PQ,       ………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD….7分
因?yàn)?i>PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
QQRSD,垂足為R,連結(jié)PR,
由三垂線定理可知PRSD,
所以∠PRQ是二面角ASDP的平面角. …9分
容易證明△DRQ∽△DAS,則
因?yàn)?i>DQ= 1,SA=1,,所以….……….10分
在Rt△PRQ中,因?yàn)?i>PQ=AB=1,所以………11分
所以二面角ASDP的大小為.……………….…….…….12分
或:過A在平面SAP內(nèi)作,且垂足為H,在平面SAD內(nèi)作,且垂足為E,連接HE,平面SAP平面SPD…………7分
∴HE為AE在平面SPD內(nèi)的射影,∴由三垂線定理得
從而是二面角ASDP的平面角……………………………….9分
中,,在中,,
.        ………………………………….11分
即二面角的大小為……………………………12分
解法二:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142333564254.gif" style="vertical-align:middle;" />底面
所以,∠SBASB與平面ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
由已知,P為BC中點(diǎn).
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得,
,..………….…....3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142334640661.gif" style="vertical-align:middle;" />,=0。
所以,
由于APSP=P,所以平面SAP         ………….……………..….…5分
(2)設(shè)平面SPD的法向量為
,得  解得,
所以                     ……………….…………….……….8分
又因?yàn)锳B⊥平面SAD,所以是平面SAD的法向量,易得…9分
所以    ….………………….11分
所求二面角的大小為. ……………….……….…… 12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖,在直三棱柱中,,是棱上的動(dòng)點(diǎn),中點(diǎn),,
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若二面角的大小是,求的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖6,已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=1。
(1)求證:平面AB1D⊥平面B1BCC1
(2)求證:A1C//平面AB1D;
(3)求二面角B—AB1—D的正切值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)
如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,,
,O中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在上是否存在一點(diǎn),使得平面,若不存在,說明理由;若存在,
確定點(diǎn)的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)在直三棱柱中,,直線與平面角;

(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中點(diǎn),A1D⊥BE.
(I)求證:A1D⊥平面BDE;
(II)求二面角B―DE―C的大;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)如圖,在正三棱柱中,分別是的中點(diǎn),

(Ⅰ)在棱上是否存在點(diǎn)使?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(Ⅱ)求截面與底面所成銳二面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)到截面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE

為平行四邊形,DC平面ABC ,,
(1)證明:平面ACD平面
(2)記,表示三棱錐A-CBE的體積,求的表達(dá)式;
(3)當(dāng)取得最大值時(shí),求證:AD=CE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題











(1)證明:;
(2)若上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成最大角的正切值為,求銳二面角的余弦值;
(3)在(2)的條件下,設(shè),求點(diǎn)到平面的距離。

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