(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142333564254.gif" style="vertical-align:middle;" />底面
,
所以,∠
SBA是
SB與平面
ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠
SBA=45°,所以
AB=
SA=1易求得,
AP=
PD=
,……………………….2分
又因?yàn)?i>AD=2,所以
AD2=
AP2+
PD2,所以
.………….…….3分
因?yàn)镾A⊥底面ABCD,
平面
ABCD,
所以
SA⊥
PD, …………….……………………….…....4分
由于
SA∩
AP=
A 所以
平面
SAP.…………………………….5分
(2)設(shè)
Q為
AD的中點(diǎn),連結(jié)
PQ, ………………….………6分
由于
SA⊥底面
ABCD,且
SA平面
SAD,則平面
SAD⊥平面
PAD….7分
因?yàn)?i>PQ⊥
AD,所以
PQ⊥平面
SAD過
Q作
QR⊥
SD,垂足為
R,連結(jié)
PR,由三垂線定理可知
PR⊥
SD,
所以∠
PRQ是二面角
A-
SD-
P的平面角. …9分
容易證明△
DRQ∽△
DAS,則
因?yàn)?i>DQ= 1,
SA=1,
,所以
….……….10分
在Rt△
PRQ中,因?yàn)?i>PQ=
AB=1,所以
………11分
所以二面角
A-
SD-
P的大小為
.……………….…….…….12分
或:過A在平面SAP內(nèi)作
,且垂足為H,在平面SAD內(nèi)作
,且垂足為E,連接HE,
平面
SAP。
平面
SPD…………7分
∴HE為AE在平面SPD內(nèi)的射影,∴由三垂線定理得
從而
是二面角
A-
SD-
P的平面角……………………………….9分
在
中,
,在
中,
,
. ………………………………….11分
即二面角
的大小為
……………………………12分
解法二:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142333564254.gif" style="vertical-align:middle;" />底面
,
所以,∠
SBA是
SB與平面
ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠
SBA=45°,所以
AB=
SA=1
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
由已知,P為BC中點(diǎn).
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得
,
,
..………….…....3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142334640661.gif" style="vertical-align:middle;" />,
=0。
所以
,
由于
AP∩
SP=
P,所以
平面
SAP ………….……………..….…5分
(2)設(shè)平面SPD的法向量為
由
,得
解得
,
所以
……………….…………….……….8分
又因?yàn)锳B⊥平面SAD,所以
是平面SAD的法向量,易得
…9分
所以
….………………….11分
所求二面角
的大小為
. ……………….……….…… 12分