Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在正三棱柱中，分別是的中點(diǎn),．

（Ⅰ）在棱上是否存在點(diǎn)使？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求截面與底面所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到截面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）存在且為的中點(diǎn)
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解法一：（Ⅰ）存在且為的中點(diǎn)，連接,
∵分別是的中點(diǎn), ∴．          （3分）
（Ⅱ）延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，連接，
則為截面與底面所成二面角的棱，
取的中點(diǎn)，連,則．

∵,∴為的中點(diǎn)．
由題設(shè)得,且,
作于,則,連,
又,
由三垂線(xiàn)定理可知，
∴為截面與底面所成的銳二面角．                              （6分）
在中，,∴．       　 （8分）
（Ⅲ）在中,得，
在中,得,
由，
，解得，即到截面距離為．   （12分）
解法二：（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
的方向分別作為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則
；
∵分別是
的中點(diǎn)，∴,
,；
設(shè)平面的法向量為，
由得，
解得，取得；
又平面的一個(gè)法向量為,                               （6分）
設(shè)截面與底面所成銳二面角為，
則，
∴，得．
故截面與底面所成銳二面角的正切值為2．  （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一個(gè)法向量為，；
設(shè)點(diǎn)到截面的距離為，
由向量的投影得，
故點(diǎn)到截面的距離為．                                    （12分）