【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是單位圓上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線與射線y=x(x≥0)交于點(diǎn)Q,與x軸交于點(diǎn)M.記∠MOP=α,且α∈(﹣, ).

(Ⅰ)若sinα=,求cos∠POQ;

(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由角的正弦值可得其余弦值,再用角表示,可由兩角差的余弦公式可得角的余值;(Ⅱ)由三角函數(shù)的定義可得點(diǎn)的坐標(biāo),再利用的正余弦值表示三角形的面積,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得其最值,即為三角形面積的最大值.

試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?/span>,且所以

所以.

(Ⅱ)由三角函數(shù)定義,得P(cosα,sinα),從而,

所以

因?yàn)?/span>所以當(dāng)時(shí),取等號(hào),

所以△OPQ面積的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為

1寫出直線及曲線的直角坐標(biāo)方程;

2過點(diǎn)平行于直線的直線與曲線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程.

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【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(),一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi),為了了解居民用水情況,通過抽祥,獲得了某年位居民毎人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中的值;

(2)若該市有萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),并說明理由;

(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(),估計(jì)的值(精確到),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離相等。

(1)求拋物線的方程;

(2)設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,求實(shí)數(shù)的值。

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【題目】三國(guó)魏人劉徽,自撰《海島算經(jīng)》,專論測(cè)高望遠(yuǎn).其中有一題今有望海島,立兩表齊,高三丈,前後相去千步,令後表與前表相直。從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合。從後表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合。問島高及去表各幾何?翻譯如下:要測(cè)量海島上一座山峰的高度,立兩根高三丈的標(biāo)桿,前后兩竿相距,使后標(biāo)桿桿腳與前標(biāo)桿桿腳與山峰腳在同一直線上,從前標(biāo)桿桿腳退行步到,人眼著地觀測(cè)到島峰,、、三點(diǎn)共線,從后標(biāo)桿桿腳退行步到,人眼著地觀測(cè)到島峰,、、三點(diǎn)也共線,山峰的高度__________步.(古制尺,步)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖ABCD是塊矩形硬紙板,其中AB=2AD,AD=E為DC的中點(diǎn)將它沿AE折成直二面角D-AE-B

1求證:AD平面BDE;

2求二面角B-AD-E的余弦值

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【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若方程有兩個(gè)相異實(shí)根,,且,證明:.

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【題目】如圖,兩條公路AP與AQ夾角A為鈍角,其正弦值是 .甲乙兩人從A點(diǎn)出發(fā)沿著兩條公路進(jìn)行搜救工作,甲沿著公路AP方向,乙沿著公路AQ方向.

(1)當(dāng)甲前進(jìn)5km的時(shí)候到達(dá)P處,同時(shí)乙到達(dá)Q處,通訊測(cè)得甲乙兩人相距 km,求乙在此時(shí)前進(jìn)的距離AQ;

(2)甲在5公里處原地未動(dòng),乙回頭往A方向行走至M點(diǎn)收到甲發(fā)出的信號(hào),此時(shí)M點(diǎn)看P、Q兩點(diǎn)的張角為(張角為QMP),求甲乙兩人相距的距離MP的長(zhǎng).

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【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),作了初步處理,得到下表:

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

溫差

10

11

13

12

9

發(fā)芽率(顆)

23

25

30

26

16

(1)從3月1日至3月5日中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均小于26”的概率;

(2)請(qǐng)根據(jù)3月1日至3月5日的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)報(bào)3月份晝夜溫差為14度時(shí)實(shí)驗(yàn)室每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽(取整數(shù)值).

附:回歸方程中的斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為:,,,

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