Question

已知是由滿(mǎn)足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意，

① 方程有實(shí)數(shù)根；② 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足．

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717111050787924/SYS201304171712115859168554_ST.files/image008.png">，則對(duì)于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（Ⅲ）對(duì)任意，且，求證：對(duì)于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時(shí)，

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)是集合中的元素.

（Ⅱ）方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

（Ⅲ）對(duì)于任意符合條件的,總有成立.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，

所以方程有實(shí)數(shù)根0；

②，

所以，滿(mǎn)足條件；

由①②，函數(shù)是集合中的元素.            5分

（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，

則，.

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，

滿(mǎn)足.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717111050787924/SYS201304171712115859168554_DA.files/image020.png">，，且，所以.

與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根，

所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.                     10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；                   11分

當(dāng)，不妨設(shè).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717111050787924/SYS201304171712115859168554_DA.files/image027.png">,且所以為增函數(shù)，那么.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717111050787924/SYS201304171712115859168554_DA.files/image031.png">，所以函數(shù)為減函數(shù)，

所以.

所以，即.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717111050787924/SYS201304171712115859168554_DA.files/image036.png">，所以， （1）

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041717111050787924/SYS201304171712115859168554_DA.files/image038.png">，所以， （2）

（1）（2）得即.

所以.

綜上，對(duì)于任意符合條件的,總有成立.  14分

考點(diǎn)：本題主要考查集合的概念，函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，，反證法，不等式的證明。

點(diǎn)評(píng)：綜合題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。證明方程只有一個(gè)實(shí)根，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性實(shí)現(xiàn)，本解法運(yùn)用的是反證法。由自變量取值，且，確定函數(shù)值的關(guān)系，關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)兩者的有機(jī)轉(zhuǎn)換。