Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形是矩形，且平面平面.

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）當(dāng)二面角的平面角的余弦值為,求這個六面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由，，，可得，，由面面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）以為軸, 軸, 軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式，列方程可求得，由棱錐的體積公式可得結(jié)果.

（Ⅰ）在梯形中,∵,,

∴,

∴,∵.

∴,

∴,∴.

∵平面平面,平面平面,∴平面.

（Ⅱ）在中,,∴.

分別以為軸,軸,軸建立平面直角坐標(biāo)系, 設(shè),則,,,

,,則,,易知平面的一個法向量為,設(shè)

∵平面的法向量為,∴即令,則,,

∴平面的法向量為,∵二面角的平面角的余弦值為,

∴,解得,即.

所以六面體的體積為：

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