Question

【題目】啟東市政府?dāng)M在蝶湖建一個(gè)旅游觀光項(xiàng)目,設(shè)計(jì)方案如下：如圖所示的圓O是圓形湖的邊界,沿線段AB,BC,CD,DA建一個(gè)觀景長(zhǎng)廊,其中A,B,C,D是觀景長(zhǎng)廊的四個(gè)出入口且都在圓O上，已知：BC=12百米,AB=8百米,在湖中P處和湖邊D處各建一個(gè)觀景亭,且它們關(guān)于直線AC對(duì)稱,在湖面建一條觀景橋APC.觀景亭的大小、觀景長(zhǎng)廊、觀景橋的寬度均忽略不計(jì)，設(shè)．

（1）若觀景長(zhǎng)廊AD＝4百米，CD=AB，求由觀景長(zhǎng)廊所圍成的四邊形ABCD內(nèi)的湖面面積；

（2）當(dāng)時(shí)，求三角形區(qū)域ADC內(nèi)的湖面面積的最大值；

（3）若CD=8百米且規(guī)劃建亭點(diǎn)P在三角形ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界），試判斷四邊形ABCP內(nèi)湖面面積是否有最大值？若有，求出最大值，并寫出此時(shí)的值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平方百米；（2）平方百米；（3）當(dāng)=時(shí)，四邊形ABCP內(nèi)的湖面面積取到最大值， 最大值為32平方百米.

【解析】

（1）分別在和中運(yùn)用余弦定理，求出，進(jìn)而可得和，根據(jù)即可得結(jié)果；（2）在中，可得，令，，在中，運(yùn)用余弦定理可得，由基本不等式可得，由即可得結(jié)果；（3）先求出，計(jì)算出，進(jìn)而可得結(jié)果.

解：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴ABC+ADC=

在中，

在中，

解得，∴

∴

（平方百米）

答：四邊形ABCD內(nèi)的湖面面積是平方百米.

（2）∵=60，∴在中，=112

令，， 在中，=112

∴=112

∵

∴（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取等號(hào)）

∵

∴（平方百米）

答：三角形區(qū)域ADC內(nèi)的湖面面積最大值平方百米．

（3）∵點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴APC=ADC，PC=CD=8

由（1）知ABC+ADC=，∴ABC+APC=

∵ABC=，∴APC=

∵點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)

∴，∴

∵在中，

在中，

∴

解得或（舍去）

∵，∴四邊形ABCP內(nèi)的湖面面積有最大值，

答：當(dāng)=時(shí)，四邊形ABCP內(nèi)的湖面面積取到最大值，最大值為32平方百米