Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，分別為的極大值和極小值，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，是定義域上的增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，即恒成立，從而求出的取值范圍；

（2）將表示為關(guān)于的函數(shù)，由且，得，設(shè)方程，即得兩根為，，且，利用韋達定理可得，，由，從而得到，根據(jù)題意可得，由得，將其代入上邊式子可得，之后令，則，從而有，，則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)可得結(jié)果.

（1）的定義域為，

∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴，即對恒成立.

則恒成立.

∴ ∵ ∴

所以，的取值范圍是

（2）將表示為關(guān)于的函數(shù)，

由且，得

設(shè)方程，即得兩根為，，且.

則，，∵，

∴ ∴

∵

∴代入得

令，則，得，，則

∴而且上遞減，從而

即 ∴.