在四棱錐PABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,ADBC,AB=BC=aAD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角.
(1)若AEPD,E為垂足,求證:BEPD;
(2)求異面直線AECD所成角的余弦值.
(1)見解析(2)
(1)證明:∵PA⊥平面ABCD,∴PAAB,又ABAD.∴AB⊥平面PAD.又∵AEPD,∴PD⊥平面ABE,故BEPD
(2)解:以A為原點,AB、AD、AP所在直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,則點C、D的坐標分別為(a,a,0),(0,2a,0).
PA⊥平面ABCD,∠PDAPD與底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°.
于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a.過EEFAD,垂足為F,在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=EF=a,∴E(0,a
于是,={-aa,0}
的夾角為θ,則由
cosθ=
AECD所成角的余弦值為
評述:第(2)小題中,以向量為工具,利用空間向量坐標及數(shù)量積,求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分15分) 如圖,在三棱錐中,,點分別是的中點,底面
(1)求證:平面;
(2)當時,求直線與平面所成角的正弦值;
(3)當為何值時,在平面內(nèi)的射影恰好為的重心.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,底面,,,,E在棱上,  (Ⅰ) 當時,求證: 平面;  (Ⅱ) 當二面角的大小為時,求直線與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在棱長為的正方體中,、分別是的中點,求點到截面的距離              

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在長方體OABC-OABC中,|OA|=2,|AB|=3,|AA|=2,E是BC的中點。

(1)求直線AO與BE所成角的大;
(2)作OD⊥AC于D。求點O到點D的距離。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

將邊長為2,銳角為的菱形沿較短對角線折成二面角,點分別為的中點,給出下列四個命題:
;②是異面直線的公垂線;③當二面角是直二面角時,間的距離為;④垂直于截面.
其中正確的是              (將正確命題的序號全填上).

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題


四、附加題:本大題共2小題,每小題10分,共20分。
(20)(本小題滿分10分)
已知是邊長為1的正方形,分別為上的點,且沿將正方形折成直二面角

(I)求證:平面平面
(II)設與平面間的距離為,試用表示

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

,是平面內(nèi)的三點,設向量,且,則________________。

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

以下四組向量中,互相平行的是(     ).
(1) ,;       (2) ,
(3),;  (4),
A.(1) (2)B.(2) (3)C. (2) (4)D.(1) (3)

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