Question

（滿(mǎn)分12分）已知點(diǎn)P_n(a_n，b_n)滿(mǎn)足a_n＋1＝a_n·b_n＋1，b_n＋1＝ (n∈N^*)且點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為(1，－1)．(1)求過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線(xiàn)l的方程；
(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N^*，點(diǎn)P_n都在(1)中的直線(xiàn)l上．

Answer 1

(1)直線(xiàn)l的方程為2x＋y＝1. (2)見(jiàn)解析。

試題分析：(1)由P₁的坐標(biāo)為(1，－1)知a₁＝1，b₁＝－1.
∴b₂＝＝.     a₂＝a₁·b₂＝. 
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為(，)
∴直線(xiàn)l的方程為2x＋y＝1. …………….3分
(2)①當(dāng)n＝1時(shí)，2a₁＋b₁＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分
②假設(shè)n＝k(k∈N^*，k≥1)時(shí)，2a_k＋b_k＝1成立，…………….6分
則2a_k＋1＋b_k＋1＝2a_k·b_k＋1＋b_k＋1＝ (2a_k＋1)…………….8分
＝＝＝1，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．                ……………. 10分
由①②知，對(duì)n∈N^*，都有2a_n＋b_n＝1，
即點(diǎn)P_n在直線(xiàn)l上．                      …………….12分
點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列問(wèn)題、直線(xiàn)方程、數(shù)學(xué)歸納法有機(jī)結(jié)合在一起，不偏不怪，是一道不錯(cuò)的題目。