【題目】已知函數(shù)f(x)=lg的圖象關(guān)于原點對稱,其中a為常數(shù).
(Ⅰ)求a的值,并求出f(x)的定義域
(Ⅱ)關(guān)于x的方程f(2x)+21g(2x-1)=a在x∈[,]有實數(shù)解,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)a=-1,定義域(-∞,-1)∪(1,+∞)(Ⅱ)a∈[0,lg7].
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出a的值,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的解析式,即可求出函數(shù)的定義域,
(Ⅱ)關(guān)于x的方程f(2x)+21g(2x-1)=a在x∈[]有實數(shù)解,轉(zhuǎn)化為lg(22x-1)=a在x∈[]有實數(shù)解,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,求出y=lg(22x-1)的值域即可求出a的范圍
(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=lg的圖象關(guān)于原點對稱,
∴函數(shù)f(x)=lg為奇函數(shù),即f(-x)+f(x)=0,
∴,且a≠1
∴l(xiāng)g=0,
∴=1,
整理可得,(a2-1)x2=0恒成立,
∴a=1(舍)或a=-1,f(x)=lg,
由>可得,x<-1或x>1,
即函數(shù)的定義域(-∞,-1)∪(1,+∞),
(Ⅱ)設(shè)2x=t,則t∈[,2],
∵關(guān)于x的方程f(2x)+21g(2x-1)=a在x∈[,]有實數(shù)解,
∴l(xiāng)g+21g(2x-1)=lg(2x+1)(2x-1)=lg(22x-1)=a在x∈[,]有實數(shù)解,
設(shè)u=22x-1,則u(x)為增函數(shù),y=lgu為增函數(shù),
∴y=lg(22x-1)在[,]上為增函數(shù),
∴0≤y≤lg7,
∴a∈[0,lg7].
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【題目】已知圓滿足:①圓心在第一象限,截軸所得弦長為2;②被軸分成兩段圓弧,其弧長的比為;③圓心到直線的距離為.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點是直線上的動點,過點分別做圓的兩條切線,切點分別為, ,求證:直線過定點.
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【題目】給定下列四個命題:
若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行;
若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直;
垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中,為真命題的是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,點D是AB的中點.
(1)求證:CD⊥平面A1ABB1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1.
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【題目】如圖,在三棱臺ABC﹣DEF中,已知平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,
(1)求證:EF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B﹣AD﹣F的余弦值.
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【題目】橢圓離心率為,,是橢圓的左、右焦點,以為圓心,為半徑的圓和以為圓心、為半徑的圓的交點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的下頂點為,直線與橢圓交于兩個不同的點,是否存在實數(shù)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線關(guān)于軸對稱,頂點在坐標原點,直線經(jīng)過拋物線的焦點.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若不經(jīng)過坐標原點的直線與拋物線相交于不同的兩點, ,且滿足,證明直線過軸上一定點,并求出點的坐標.
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