Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率是 ，過E的右焦點且垂直于橢圓長軸的直線與橢圓交于A，B兩點，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點P（0， ）的動直線l與橢圓E交于的兩點M，N（不是的橢圓頂點），是否存在實數(shù)λ，使 +λ 為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e= = = ，則a2=2b2 ， ①
則丨AB丨= =2，則b2=a，②
解得：a=2，b= ，
∴橢圓的標準方程為： ；
（Ⅱ）當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
聯(lián)立 ，得（1+2k2）x2+4 kx+2=0，△=（4 k）2﹣4×（1+2k2）×2＞0，解得：k2＞ ，
由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，從而， +λ =x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣ ）（y2﹣ ）]，
=（1+λ）（1+k2）x1x2+ k（x1+x2）+3，
=（1+λ）（1+k2）× + k×（﹣ ）+3，
= ，
=﹣（1﹣λ）+ ，
∴當λ=﹣2時，﹣（1﹣λ）+ =﹣3，此時 +λ =﹣3，
故存在常數(shù)λ=﹣2，使得 +λ 為定值﹣3．
【解析】（Ⅰ）由題意的離心率求得a2=2b2 ， 橢圓的通徑丨AB丨= =2，即可求得a和b的值，求得橢圓的標準方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，y=kx+ ，代入橢圓方程，利用韋達定理定理及向量數(shù)量積的坐標運算，表示出 +λ =﹣（1﹣λ）+ ，則當λ=﹣2時，﹣（1﹣λ）+ =﹣3，則存在實數(shù)λ，使 +λ 為定值
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．