Question

【題目】已知首項為的數列各項均為正數，且，.

(1)若數列的通項滿足，且，求數列的前n項和為；

(2)若數列的通項滿足，前n項和為，當數列是等差數列時，對任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數構成的集合.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)由條件可變形為，可得數列是以為首項，以2為公比的等比數列，進而可得，則，再利用錯位相減法求和即可；

(2)根據(1)求出，，，由數列是等差數列，列方程可得或，分和討論，通過條件對任意的，均存在，使得成立，可得.

(1)∵數列各項均為正數，且，

，即，即.

∴數列是以為首項，以2為公比的等比數列，

，

∴數列的通項公式為.

∵，∴，

∴，

，

兩式相減，得，

，

∴數列的前n項和；

(2)∵數列的通項，

∴由(1)得，，∴，，.

又數列是等差數列，∴.

，即.

解得或.

又，

∴當時，，為等差數列，

對任意的，均存在，使得成立，

，

，.

又為正整數，∴滿足條件的所有整數的值構成的集合為

.

當時，，不是常數，

∴數列不是等差數列，舍去.

綜上，滿足條件的所有整數的值構成的集合為

.