【題目】已知,若方程有2個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____(結(jié)果用區(qū)間表示).
【答案】
【解析】
由方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系可得有2個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,由函數(shù)圖象的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程可設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與相切與點(diǎn),由,則此切線方程為,又此直線過(guò)原點(diǎn),則求得,即切線方程為再結(jié)合圖象可得實(shí)數(shù)的取值范圍是,得解.
解:由,
可得:在的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,
有2個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,
的圖象與直線的位置關(guān)系如圖所示,
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與相切與點(diǎn),
由,
則此切線方程為:,
又此直線過(guò)原點(diǎn),
則求得,
即切線方程為:,
由圖可知:當(dāng)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí),
實(shí)數(shù)的取值范圍是,
故答案為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”,另外,定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為,已知函數(shù),則( )
A.是的一個(gè)“完美區(qū)間”
B.是的一個(gè)“完美區(qū)間”
C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為
D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,離心率為,不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)若為線段的中點(diǎn),求直線的方程.
(2)求點(diǎn)是直線上一點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且滿足,設(shè)直線與直線的斜率分別為,問(wèn):是否為定值?若是,請(qǐng)求出的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升,對(duì)該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測(cè)試,測(cè)試項(xiàng)目共5項(xiàng).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測(cè)試結(jié)果,將它們編號(hào)后得到它們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(表1)所示(“√”表示測(cè)試合格,“×”表示測(cè)試不合格).
表1:
編號(hào)\測(cè)試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
規(guī)定:每項(xiàng)測(cè)試合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的這10名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的頻率代替每名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的概率.
①設(shè)抽取的這10名職工中,每名職工測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)為,根據(jù)上面的測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表,列出的分布列,并估計(jì)這120名職工的平均得分;
②假設(shè)各名職工的各項(xiàng)測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立,某科室有5名職工,求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在測(cè)試中,測(cè)試難度的計(jì)算公式為,其中為第項(xiàng)測(cè)試難度,為第項(xiàng)合格的人數(shù),為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項(xiàng)測(cè)試合格人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度如下表(表2):
表2:
測(cè)試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測(cè)合格人數(shù) | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第項(xiàng)的實(shí)測(cè)難度,為第項(xiàng)的預(yù)測(cè)難度().規(guī)定:若,則稱該次測(cè)試的難度預(yù)測(cè)合理,否則為不合理,測(cè)試前,預(yù)估了每個(gè)預(yù)測(cè)項(xiàng)目的難度,如下表(表3)所示:
表3:
測(cè)試項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
預(yù)測(cè)前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中,為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況,從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī),被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間(滿分150分),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組:第一組,,第二組,,第八組,,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
(1)求第七組的頻率,并完成頻率分布直方圖;
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值);
(3)若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線相交于兩點(diǎn),,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體中,四邊形為矩形,二面角為,,,,,.
(1)求證:平面;
(2)為線段上的點(diǎn),當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓錐(其中為頂點(diǎn),為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是,則圓錐與它外接球(即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和的極值;
(2)對(duì)于任意的,,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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