【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(3)若不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) .
(2) .
(3) .
【解析】分析:(1)求出,由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)是方程的兩個(gè)正根,可得,則可化為,令,可得在上單調(diào)遞增,所以;(3)對任意的實(shí)數(shù)恒成立,即對任意的實(shí)數(shù)恒成立,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,討論的范圍,令的最小值不小于零,可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
詳解:(1)當(dāng)時(shí),,故,
且,故
所以函數(shù)在處的切線方程為
(2)由,可得
因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),所以是方程的兩個(gè)正根,
即的兩個(gè)正根為
所以,即
所以
令,故,在上單調(diào)遞增,
所以
故得取值范圍是
(3)據(jù)題意,對任意的實(shí)數(shù)恒成立,
即對任意的實(shí)數(shù)恒成立.
令,則
①若,當(dāng)時(shí),,故符合題意;
②若,
(i)若,即,則,在上單調(diào)贈(zèng)
所以當(dāng)時(shí),,故符合題意;
(ii)若,即,令,得(舍去),
,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)減;
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,
所以存在,使得,與題意矛盾,
所以不符題意.
③若,令,得
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)增;當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)減.
首先證明:
要證:,即要證:,只要證:
因?yàn)?/span>,所以,故
所以
其次證明,當(dāng)時(shí),對任意的都成立
令,則,故在上單調(diào)遞增,
所以,則
所以當(dāng)時(shí),對任意的都成立
所以當(dāng)時(shí),
即,與題意矛盾,故不符題意,
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.
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【題目】已知奇函數(shù)滿足,則( )
A. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) B. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)
C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)是偶函數(shù)
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【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域是.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,某機(jī)械廠欲從米,米的矩形鐵皮中裁剪出一個(gè)四邊形加工成某儀器的零件,裁剪要求如下:點(diǎn)分別在邊上,且,.設(shè),四邊形的面積為(單位:平方米).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,求出定義域;
(2)當(dāng)的長為何值時(shí),裁剪出的四邊形的面積最小,并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃,收集了近個(gè)月廣告投入量(單位:萬元)和收益(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
月份 | ||||||
廣告投入量 | ||||||
收益 |
他們分別用兩種模型①,②分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值:
(Ⅰ)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?并說明理由;
(Ⅱ)殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除:
(。┨蕹惓(shù)據(jù)后求出(Ⅰ)中所選模型的回歸方程
(ⅱ)若廣告投入量時(shí),該模型收益的預(yù)報(bào)值是多少?
附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在處取得極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
Ⅰ當(dāng)時(shí),恒成立,求a的取值范圍;
Ⅱ設(shè)是定義在上的函數(shù),在內(nèi)任取個(gè)數(shù),,,,,設(shè),令,,如果存在一個(gè)常數(shù),使得恒成立,則稱函數(shù)在區(qū)間上的具有性質(zhì)P.試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P?若具有性質(zhì)P,請求出M的最小值;若不具有性質(zhì)P,請說明理由.注:
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【題目】已知圓C:x2+y2﹣4x﹣6y+12=0,點(diǎn)A(3,5).
(1)將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,并寫出圓C的圓心坐標(biāo)及半徑r;
(2)求過點(diǎn)A的圓的切線方程.
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