【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)特殊值，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)題意，解決函數(shù)恒成立問題，方法一：轉(zhuǎn)化對(duì)任意恒成立，則有對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需求，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問題。方法二：對(duì)任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成射線與函數(shù)的圖象相切時(shí)屬臨界狀態(tài)，計(jì)算求解；方法三：含參的函數(shù)最小值探究，只需，即可求解參數(shù)取值范圍.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>，

求導(dǎo)得，

于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

（Ⅱ）法1：因?qū)θ我?/span>，恒成立，即對(duì)任意恒成立，于是對(duì)任意恒成立，

令，只需.

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，

則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又，所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)，于是，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法2：因?qū)θ我?/span>，恒成立，即對(duì)任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，得，

令，得（舍去），所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

函數(shù)的圖象是一條過原點(diǎn)的射線（不包括端點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)射線（不含端點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)與函數(shù)的圖象相切時(shí)屬臨界狀態(tài).

設(shè)切點(diǎn)為，則，整理得，

顯然在上是增函數(shù)，又，所以，此時(shí)切線斜率為1，結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法3：根據(jù)題意只需即可.

又，令，因2與異號(hào)，所以必有一正根，不妨設(shè)為，則，即，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，

又在上是減函數(shù)，又，所以，

由得在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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【題目】已知如圖1直角三角形ACB中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將沿折起，使面面，如圖2.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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（Ⅰ）當(dāng)時(shí)；

①設(shè)，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

②求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)集合，若，求的取值范圍（用表示）．

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（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求和；

（2）若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.

①求；

②是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意自然數(shù)都成立？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

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（Ⅰ）求的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

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（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求的最大值．

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（2）已知，其中，為常數(shù)，求.

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（2）若不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證：.

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