Question

【題目】已知函數(shù)（常數(shù)）.

（1）證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）均見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的符號(hào)，可得在有且只有一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)在有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（2）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則,是的兩個(gè)零點(diǎn)，且由（1）知，必有,討論的符號(hào)可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>，所以有，由，得,此時(shí)，通過導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,所以,.

試題解析：依題意，

令，則.

（1）①當(dāng)時(shí)，，所以無解，則函數(shù)不存在大于零的極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由，故在單調(diào)遞增.又，

所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又注意到在的零點(diǎn)左側(cè)，，在的零點(diǎn)右側(cè)，，

所以函數(shù)在有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

（2）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)（不妨設(shè)），

所以,是的兩個(gè)零點(diǎn)，且由（1）知，必有.

令得；

令得；

令得.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，

所以必有.

令，解得，

此時(shí).

因?yàn)?/span>是的兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，.

將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)

則.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

則在單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

則在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，所以.

綜上知，且．．