【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當m>0時,若對于區(qū)間[1,2]上的任意兩個實數(shù)x1,x2,且x1<x2,都有,成立,求m的最大值.
【答案】(1)見解析 (2).
【解析】
(1)先求導,再分類討論,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可解決,(2)根據(jù)題意可得f(x2)-x22)<f(x1)-x12,構(gòu)造函數(shù),再求導,再分離參數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)的最值即可.
(1)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=x+m+=,
m≥0時,f′(x)>0, 故m≥0時,f(x)在(0,+∞)遞增;
m<0時,方程x2+mx+m=0的判別式為: △=m2-4m>0,
令f′(x)>0,解得:x>,
令f′(x)<0,解得:0<x< ,
故m<0時,f(x)在(,+∞)遞增,在(0,)遞減;
(2)由(1)知,當m>0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增,
又[1,2](0,+∞),故f(x)在[1,2]遞增;
對任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2), 故f(x2)-f(x1)>0,
由題意得:f(x2)-f(x1)<, 整理得:f(x2)-<f(x1)-,
令F(x)=f(x)-x2=-x2+mx+mlnx, 則F(x)在[1,2]遞減, 故F′(x)=,
當x∈[1,2]時,-x2+mx+m≤0恒成立,即m≤,
令h(x)=,則h′(x)>0, 故h(x)在[1,2]遞增,
故h(x)∈[,], 故m≤.
實數(shù)的最大值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln2x-2aln(ex)+3,x∈[e-1,e2]
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x)≤-alnx+4恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)已知函數(shù),其中,求函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過第一、二、三象限的概率;
(2)某校早上8:10開始上課,假設(shè)該校學生小張與小王在早上7:30~8:00之間到校,且每人到該時間段內(nèi)到校時刻是等可能的,求兩人到校時刻相差10分鐘以上的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若平面直角坐標系內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點對稱,則稱點對(P,Q)是函數(shù)f(x)的圖象上的一個“友好點對”(點對(P,Q)與點對(Q,P)看作同一個“友好點對”).已知函數(shù),若此函數(shù)的“友好點對”有且只有一對,則實數(shù)的取值范圍是_________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合的元素個數(shù)為個且元素為正整數(shù),將集合分成元素個數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合,即,,,,其中,,,若集合中的元素滿足,,,則稱集合為“完美集合”例如:“完美集合”,此時.若集合,為“完美集合”,則的所有可能取值之和為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當m=1時,若方程在區(qū)間上有唯一的實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標方程為,傾斜角為的直線過點.
(1)求曲線的直角坐標方程和直線的參數(shù)方程;
(2)設(shè),是過點且關(guān)于直線對稱的兩條直線,與交于兩點,與交于, 兩點. 求證:.
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