Question

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{a_n}，a₁=a，a_n+1=

an2

2(an-1)

（n∈N⁺）．求證：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時結(jié)論成立，第二步假設(shè)n=k時結(jié)論成立，證明n=k+1時不等式也成立即可．

解答：證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n＞2，
（1）當(dāng)n=1，a₁=a＞2，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時結(jié)論成立，即a_k＞2，
那么當(dāng)n=k+1時，a _k+1-2
=

ak2-4ak+4

2(ak-1)

=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，
即a_k+1＞2，
由（1）（2）可知對n∈N+時都有a_n＞2．
當(dāng)a_n＞2，

an+1

an

=

an

2(a n-1)

=

1

2(1- 1 an )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1，
所以a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N+）．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，注意第二步證明時用上假設(shè)．