Question

設(shè)a＞2，給定數(shù)列{x_n}，其中x₁=a，xn+1=

x 2 n

2(xn-1)

(n=1，2…)求證：
（1）x_n＞2，且

xn+1

xn

＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+

1

2n-1

(n=1，2…)．

Answer 1

分析：（1）我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式x_n＞2當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)不等式x_n＞2當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式x_k+1＞2也成立，最后得到不等式x_n＞2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立；
（2）我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式xn≤2+

1

2n-1

當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)不等式xn≤2+

1

2n-1

當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式xn≤2+

1

2n-1

也成立，最后得到不等式xn≤2+

1

2n-1

對(duì)于所有的正整數(shù)n成立；

解答：證明：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，
∵x2=

x12

2(x1-1)

=x1+

(2-x1)x1

2(x1-1)

，
x2=

x12

2(x1-1)

=

4(x1-1)+x12 -4x1+4

2(x1-1)

=2+

(x1-2)2

2(x1-1)

，x₁=a＞2，
∴2＜x₂＜x₁．
結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），
則xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=xk+1+

(2-xk+1)xk+1

2(xk+1-1)

＞x_k+1，
xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=2+

(xk+1-2)2

2(xk+1-1)

＞2．
∴2＜x_k+2＜x_k+1，
綜上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．
∴x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．
（2）由條件x₁=a≤3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立
假設(shè)不等式當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立
當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及x_k＞2知xk+1≤1+

1

2k

?

x

2 k

≤2(xk-1)(2+

1

2k

)
?

x

2 k

-2(2+

1

2k

)xk+2(2+

1

2k

)≤0
?(xk-2)[xk-(2+

1

2k-1

)]≤0，
再由x_k＞2及歸納假設(shè)知，
上面最后一個(gè)不等式一定成立，
所以不等式xk+1≤2+

1

2k

也成立，
從而不等式xn≤2+

1

2n-1

對(duì)所有的正整數(shù)n成立

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．