Question

設a＞2，給定數列{a_n}，a1=a，an+1an=an+1+

1

2

a

2 n

(n∈N*)
（1）求證：a_n＞2；
（2）求證：數列{a_n}是單調遞減數列．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出a_n+1=

an2

2(an-1)

．利用數學歸納法證明．
（2）可利用作差比較、作商比較法證明．

解答：證明：（1）由an+1an=an+1+

1

2

a

n 2

(n∈N*)得a_n+1=

an2

2(an-1)

用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=a＞2，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時不等式成立，即a_k＞2．
則當n=k+1時，a_k+1-2=

ak2-4ak+4

2(ak-1)

=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，即a_k+1＞2
由①②可知a_n＞2成立．
（2）證法一：
a_n+1-a_n=

an2

2(an-1)

-an=

an(2- an )

2(an-1)

＜0，
由（1）a_n＞2，∴a_n+1＜a_n，
∴數列{a_n}單調遞減．
證法二：
由（1）a_n＞2，

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

1

2(1- 1 an )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1，
∴a_n+1＜a_n，
∴數列{a_n}單調遞減．

點評：本題考查數列的函數性質，不等式的證明．考查轉化、推理、論證能力．