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【題目】已知函數 .

（1）若在 處導數相等，證明： ；

（2）若對于任意 ，直線 與曲線都有唯一公共點，求實數的取值范圍.

【答案】（I）見解析（II）

【解析】

（1）由題x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數相等，得到，得，

由韋達定理得，由基本不等式得，得，由題意得，令,則，令，，利用導數性質能證明．

（2）由得，令，

利用反證法可證明證明恒成立。

由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數，得，令，由此可求的取值范圍..

（I）

令，得，

由韋達定理得

即，得

令,則，令，

則，得

（II）由得

令，

則，，

下面先證明恒成立。

若存在，使得，，，且當自變量充分大時，，所以存在，，使得，，取，則與至少有兩個交點，矛盾。

由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數，

得，令，則，

得

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點B落在矩形的邊上，記該點為E，且折痕的兩端點M，N分別在邊上.設，的面積為S.

（1）將l表示成θ的函數，并確定θ的取值范圍；

（2）求l的最小值及此時的值；

（3）問當θ為何值時，的面積S取得最小值？并求出這個最小值.

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【題目】為了檢驗訓練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中男隊員12人，女隊員18人，測試結果如莖葉圖所示（單位：分）.若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號，其他隊員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號.

（1）若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人，然后再從這10人中選4人，那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少？

（2）若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表，用表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數，試求的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其圖象關于直線對稱，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上的所有點（ ）

A.先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變

B.先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變

C.先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變

D.先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某冰糖橙，甜橙的一種，云南著名特產，以味甜皮薄著稱。該橙按照等級可分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級（每箱有5kg）,某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機抽取100箱，利用橙子的等級分類標準得到的數據如下表：

等級

珍品

特級

優(yōu)級

一級

箱數

40

30

10

20

（1）若將頻率改為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機抽取4箱，求恰好抽到2箱是一級品的概率：

（2）利用樣本估計總體，莊園老板提出兩種購銷方案供采購商參考：

方案一：不分等級賣出，價格為27元/kg;

方案二：分等級賣出，分等級的橙子價格如下：

等級

珍品

特級

優(yōu)級

一級

售價（元/kg）

36

30

24

18

從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，X表示抽取的是珍品等級，求x的分布列及數學期望E（X）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： 的焦點為圓的圓心.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若斜率的直線過拋物線的焦點與拋物線相交于兩點，求弦長.

【答案】（1）;（2）8.

【解析】試題分析：（1）先求圓心得焦點,根據焦點得拋物線方程（2）先根據點斜式得直線方程,與拋物線聯立方程組,利用韋達定理以及弦長公式得弦長.

試題解析：（1）圓的標準方程為，圓心坐標為，

即焦點坐標為，得到拋物線的方程：

（2）直線： ，聯立，得到

弦長

【題型】解答題
【結束】
19

【題目】已知函數在點處的切線方程為.

（1）求函數的解析式；

（2）求函數的單調區(qū)間和極值.

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【題目】已知在四棱錐中，，，是的中點，是等邊三角形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數,其中,.

(1)函數的圖象能否與x軸相切?若能,求出實數a;若不能,請說明理由.

(2)若在處取得極大值,求實數a的取值范圍.

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【題目】為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程，從生產線上隨機抽取一批零件，根據其尺寸的數據分成，，，，，，組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區(qū)間之外，則認為該零件屬“不合格”的零件，其中，分別為樣本平均和樣本標準差，計算可得（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.

（1）若一個零件的尺寸是，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件；

（2）工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前組中抽出個零件，標上記號，并從這個零件中再抽取個，求再次抽取的個零件中恰有個尺寸小于的概率.

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